Teorema de Laplace

Capítulo 11

Seção 11.4

Nós usamos o teorema de Laplace para encontrar o valor de um determinante de uma matriz de 3a. ordem.

Definição:

O determinante de uma matriz de ordem 3 é igual a soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna quaisquer pelos seus cofatores respectivos.

Exemplo:

Seja a matriz A abaixo:

na figura temos a matriz A com os elementos a11, a12 e a13 na primeira linha, os elementos a21, a22 e a23 na segunda linha
e os elementos a31, a32 e a33 na terceira linha.

Para encontrarmos o valor da determinante desta matriz, basta escolhermos uma linha ou coluna qualquer.
Digamos que escolhemos a segunda linha da matriz.

Portanto, o determinante desta matriz será:

det A = a₂₁.A₂₁ + a₂₂.A₂₂ + a₂₃.A₂₃

Se tivéssemos escolhido a primeira coluna, nosso determinante seria calculado da seguinte forma:

det A = a₁₁.A₁₁ + a₂₁.A₂₁ + a₃₁.A₃₁

Tanto a primeira expressão como a segunda, tem que resultar no mesmo valor de determinante da matriz A.

Exercício:

1) Qual o valor do determinante da matriz abaixo ?

na figura temos o a matriz A com os elementos 5, 7 e menos 1 na primeira linha, os elementos 4, 0 e 2
na segunda linha e os elementos 3, 1 e 8 na terceira linha.

Resolução:

Vamos escolher a primeira linha desta matriz. Sendo assim, temos que calcular o valor dos seguintes menor complementares: A₁₁,
A₁₂ e A₁₃

na figura temos o menor complementar A11 com os elementos 0 e 2 na primeira linha e os elementos 1 e 8 na segunda linha.
O menor complementar é igual a menos 2.

Agora podemos calcular o determinante:

det A = 5.(-2) + 7.(26) + (-1).4 = -10 + 182 - 4 = 168

Logo, det A = 168

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