Equações Exponenciais

Capítulo 6

Seção 6.2

Definição:

Uma equação exponencial é aquela que possui uma incógnita no expoente.

Exemplos:

1) 3^x = 81
2) 2^{x + 2} = 4
3) 3.5^x + 7.5^x + 3 = 0

Vamos ver alguns exercícios para aprendermos a resolver algumas equações exponenciais.

1) Resolva a equação 4^x = 64

Resolução:

Temos que deixar ambos os lados da igualdade com a mesma base 4. Então, teremos que fatorar o 64 e isso vai dar:

64 = 4.4.4 = 4³

Logo,
4^x = 4³

Cortando a base, ficamos com:
x = 3

Portanto, nosso conjunto-solução é S = {3}

2) Resolva a equação 5^{3x + 4} = 25^x

Resolução:

Devemos deixar tudo na base 5.

Logo,
5^{3x + 4} = (5²)^x
5^{3x + 4} = 5^2x

Cortando a base 5, temos:

3x + 4 = 2x => 3x - 2x = -4 => x = -4.

Portanto, o nosso conjunto-solução é S = {-4}

3) Resolva a equação 121^{x + 1} = 1

Resolução:

Sabemos que qualquer base a elevado a zero é igual a 1. Portanto, a nossa equação vai ficar:

121^{x + 1} = 11⁰

Deixando tudo na base "11", teremos:

(11²)^{x + 1} = 11⁰
11^{2x + 2} = 11⁰
2x + 2 = 0
2x = -2
x = -2/2
x = -1

Portanto, o conjunto-solução é S = {-1}

4) Resolva a equação 2.3^{x + 4} = 18

Resolução:

A intenção aqui é deixar tudo na base 3. Então, vamos pegar o 2 que está multiplicando e vamos passar para o outro lado da igualdade. A equação vai ficar:
2.3^{x + 4} = 18
3^{x + 4} = 18/2
3^{x + 4} = 9
3^{x + 4} = 3²
x + 4 = 2
x = 2 - 4
x = -2

Portanto, o conjunto-solução é S ={-2}

5) Resolva a equação 6^2x - 7.6^x + 6 = 0.

Resolução:

Aqui, nós fazemos uso do seguinte artifício: Fazemos 6^x = y.

Nossa equação vai ficar:

6^2x - 7.6^x + 6 = 0.
(6^x)² - 7.6^x + 6 = 0.
y² - 7.y + 6 = 0.

Usando Bhaskara, teremos o seguinte:

Δ = 49 - 4.1.6 = 49 - 24 = 25
Δ = 25

y = (-b ± √ Δ)/2a
y = (7 ± √ 25)/2.1
y = (7 ± 5)/2

y' = (7 + 5)/2 => y' = 12/2 => y' = 6
y'' = (7 - 5)/2 => y'' = 2/2 => y'' = 1

Lembrando que 6^x = y, teremos que:

6^x = 6 => x = 1
6^x = 1 => 6^x = 6⁰ => x = 0

Portanto, o nosso conjunto-solução será S = {0,1}