Funções

Capítulo 2

Seção 2.10

Funções Inversas

Definição:

Dada uma função bijetora f: A -----> B, a inversa de f é a função f^-1: B -----> A, onde (a,b) pertencente a f equivale a (b,a) pertencente a f^-1.

Vamos ver a função y = 3x para f: A ----> B.

Para x = 1, temos y = 3.1 => y = 3
Para x = 2, temos y = 3.2 => y = 6
Para x = 3, temos y = 3.3 => y = 9
Para x = 4, temos y = 3.4 => y = 12

A partir daí, formamos os seguintes pares ordenados: f = {(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}

Agora vamos ver a função y = x/3 para g: B ----> A.

Para x = 3, temos y = 3/3 => y = 1
Para x = 6, temos y = 6/3 => y = 2
Para x = 9, temos y = 9/3 => y = 3
Para x = 12, temos y = 12/3 => y = 4
A partir daí, formamos os seguintes pares ordenados: g = {(3,1),(6,2),(9,3),(12,4)}

Observando as funções acima, vemos que a função g tem os mesmo pares ordenados de f, apenas com a ordem de seus elementos invertidos.

O dominínio de f é Df = { 1, 2, 3, 4 }.
A imagem de f é Imf = { 3, 6, 9, 12 }.
O domínio de g é Dg = { 3, 6, 9, 12 }.
A imagem de g é Img = { 1, 2, 3, 4 }

Olhando para os domínios de f e g, notamos que Df = Img e Dg = Imf. Portanto a função g é chamada de inversa de f.

Por fim, vamos representar a relação de A em B por Diagrama de Venn.

Observando a figura, notamos que as mesmas flechas que saem de A em B, voltam em B em A.
Quando isso ocorre, dizemos que as funções f e g são bijetoras. E quando uma função tem inversa, ela é inversível.

Não esqueça!
A notação para função inversa é f^-1.

Exercício:

Encontre a função inversa da função y = 3x - 7.

Resolução:

Para achar a inversa, nós apenas trocamos as variáveis de lugar. Onde está o y, colocamos x e onde está x colocamos y.
Logo, a função acima vai ficar x = 3y - 7.
Agora, basta isolar o y para encontrarmos a inversa:
3y = x + 7
y = (x + 7)/3

Portanto, y = (x + 7)/3 é a inversa de y = 3x - 7