Funções

Capítulo 2

Seção 2.9

Funções Compostas

Vamos relacionar abaixo três conjuntos:

A = { 1, 2, 3 }
B = { 0, 4, 8, 12, 16}
C = { 0, 1, 2, 3, 4}

Agora, escreveremos duas funções:

1) f: A -----> B f(x) = 4x
2) g: B -----> C g(x) = x/4

Com este dados, desenharemos o Diagrama de Venn destas relações:


Observando o diagrama, concluimos que:

- Todos os elementos de A se relacionam com um único elemento de B. (y = 4x)
- Todos os elementos de B se relacionam com um único elemento de C. (z = y/4)
- Todos os elementos de A se relacionam com um único elemento de C. (z = (4x)/4 = x => z = x)

Olhando novamente para o diagrama, observamos que saem duas setas dos elementos do conjunto A.
Porém, estas setas vão para conjuntos diferentes. Portanto, a relação A em B é função.
E as setas que vão em direção ao conjunto C, geram outra relação e está também é uma função.
Esta nova relação de A em C é chamada de função h(x) e vale h(x) = x.

A função h(x) é chamada de função composta e é representada da seguinte forma:

h(x) = f(g(x)) ou g o f

Exemplo 1:

Dada a função f(x) = x² - 3x + 2 e g(x) = 2x - 1, encontre h(x).

Resolução:

Vamos pegar o g(x) e substituir dentro da variável x da função f(x). Vai ficar:

h(x) = (2x -1)² - 3(2x - 1) + 2
h(x) = 4x² - 4x + 1 - 6x + 3 + 2
h(x) = 4x² - 10x + 6

Portanto, a função composta h(x) vale h(x) = 4x² - 10x + 6

Exemplo 2:

Dada a função f(x) = 3x + 5 e g(x) = 1 - x, encontre f(g(0)).

Resolução:

Primeiro, vamos encontrar h(x):

h(x) = 3(1 - x) + 5
h(x) = 3 - 3x + 5
h(x) = -3x + 8

Como h(x) = f(g(x)), temos então que:

f(g(x)) = -3x + 8. Portanto, f(g(0)) será igual a:
f(g(0)) = -3.0 + 8
f(g(0)) = 8