Localização no gráfico das raízes de uma função de 2o. grau

Capítulo 4

Seção 4.4

Exemplo 1:

Desenhe o gráfico da função x² - x - 2

Vamos construir a tabela:
nesta figura temos a tabela com os valores de x e y da função do exemplo 1.
A partir dos dados da tabela, construimos o gráfico:
nesta figura, temos o gráfico do exemplo 1 a partir dos dados da tabela.

Exercício:

1) Encontre as raízes da função f(x) do exemplo 1:

Resolução:

Usando a fórmula de Bhaskara abaixo.
na figura temos a fórmula de Bhaskara
Temos:

a = 1
b = -1
c = - 2

Vamos primeiramente calcular o delta (Δ)

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.(-2)
Δ = 1 + 8
Δ = 9

Agora vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √ Δ)/ 2a
x = (-(-1) ± √ 9)/ 2.1
x = (1 ± 3) / 2

As raízes x' e x'' são:

x' = (1 + 3) / 2
x' = 4 / 2
x' = 2

x'' = (1 - 3) / 2
x'' = -2 / 2
x'' = -1

Portanto, as raízes da função f(x) = x² - x - 2 são x' = 2 e x'' = -1.

Conclusão: quando Δ > 0, temos duas raízes diferentes que cortam o eixo das abscissas em dois pontos (x' = 2 e x'' = -1). É possível observar isso no gráfico que desenhamos acima.

Exemplo 2:

Desenhe o gráfico da função x² - 2x + 1

Vamos construir a tabela:
na figura, temos a tabela do exemplo 2 onde colocamos o valor de x e y da função.
A partir dos dados da tabela, construimos o gráfico:
na figura, temos a função do exemplo 2 desenhada no gráfico.

Exercício:

2) Encontre as raízes da função f(x) do exemplo 2:

Resolução:

Usando a fórmula de Bhaskara abaixo.
na figura, temos a fórmula de Bháskara
Temos:

a = 1
b = -2
c = 1

Calculando o delta (Δ)

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4.1.1
Δ = 4 - 4
Δ = 0

Agora vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √ Δ)/ 2a
x = (-(-2) ± √ 0)/ 2.1
x = (2 ± 0) / 2

As raízes x' e x'' são:

x' = (2 + 0) / 2
x' = 2 / 2
x' = 1

x'' = (2 - 0) / 2
x'' = 2 / 2
x'' = 1

Portanto, as raízes da função f(x) = x² - 2x + 1 são x' = x'' = 1.

Conclusão: quando Δ = 0, temos duas raízes iguais que cortam o eixo das abscissas num único ponto, ou seja, tangecia o eixo x.
Esta situação aconteceu no nosso gráfico do exemplo 2

Exemplo 3:

Desenhe o gráfico da função x² - 3x + 4

Vamos construir a tabela:
na figura temos a tabela com os valores de x e y da função do exemplo 3.
A partir dos dados da tabela, construimos o gráfico:
na figura temos o gráfico da função do exemplo 3.

Exercício:

Encontre as raízes da função f(x) do exemplo 3:

Resolução:

Vamos usar a fórmula de Bhaskara abaixo:
na figura, temos a fórmula de Bháskara
Temos:

a = 1
b = -3
c = 4

Calculando o delta (Δ)

Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4.1.4
Δ = 9 - 16
Δ = -7

Conclusão: quando Δ < 0, não temos raízes reais que cortam o eixo das abscissas. Esta situação aconteceu no nosso gráfico do exemplo 3

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