Equações Logarítmicas

Capítulo 7

Seção 7.4

Definição:

Equações Logarítmicas são aquelas que possuem um logaritmo.

Exemplos:

a) Resolva a equação log₅x = 2.

Resolução:

Neste exemplo, o nosso x é o logaritmando. Conforme a definição de logaritmo, ele deve ser maior que 0.

Portanto, x > 0 (Condição de Existência).

Resolvendo nossa equação, temos:

log₅x = 2 => 5² = x => x = 25.

Como o x = 25, ele satisfaz a nossa condição de existência, porque 25 > 0.

Logo, o nosso conjunto-solução é:

S = {25}

b) Resolva a equação log₈(x² - 2x) = 1.

Resolução:

(Condição de Existência): x² - 2x > 0

Resolvendo a equação:

log₈(x² - 2x) = 1 => 8¹ = x² - 2x => x² - 2x = 8 => x² - 2x - 8 = 0

Aplicando Baskara, teremos:
Δ = 36

x = (2 ± 6)/2 => x' = 4 e x'' = -2

Substituindo x' e x'' na condição de existência, temos:

x² - 2x > 0 => 4² - 2(4) > 0 => 16 - 8 > 0 => 8 > 0. (V)
x² - 2x > 0 => (-2)² - 2(-2) > 0 => 4 + 4 > 0 => 8 > 0. (V)

Logo, nosso conjunto-solução é:

S = {-2,4}

c) Resolva a equação log₄(2x² - 2x) = log₄(x² - 5x)

Resolução:

(Condição de Existência):
2x² - 2x > 0
x² - 5x > 0

Resolvendo a equação, teremos:

log₄(2x² - 2x) = log₄(x² - 5x) = 2x² - 2x = x² - 5x =>
2x² - x² - 2x + 5x => x² + 3x = 0.

Raízes:
x² + 3x = 0.
x(x + 3) = 0
x' = 0
x'' = -3

Substituindo x' e x'' na condição de existência, temos:

2(0)² - 2.0 > 0 => 0 > 0. (F)
0² - 5.0 > 0 => 0 > 0. (F)
2(-3)² - 2.(-3) > 0 => 18 + 6 > 0 => 24 > 0. (V)
(-3)² - 5(-3) > 0 => 9 + 15 > 0 => 24 > 0. (V)

Logo, nosso conjunto-solução será:

S = {-3}