Inequações Logarítmicas

Capítulo 7

Seção 7.8

Observe os gráficos abaixo:







Da observação dos gráficos, concluimos que:

- se a > 0, o sentido da desigualdade da inequação permanece (maior >)
- se 0 < a < 1 o sentido da desigualdade da inequação se inverte (menor <).

Exemplos:

Resolva a inequação log₇(8x - 1) > log₇3

Vamos verificar primeiro o valor da base a. Neste caso a = 7 > 0. Portanto, o sentido da desigualdade permanece o mesmo (maior >).

Temos também que o logaritmando 8x -1 tem que ser maior que zero.

Logo:

I) 8x -1 > 0 => 8x > 1 => x > 1/8.

Por fim, resolvemos a inequação log₇(8x - 1) > log₇3

Vai ficar:

II) log₇(8x - 1) > log₇3 => 8x - 1 > 3 => 8x > 4 => x > 4/8 => x > 1/2.

Fazendo a intersecção de I e II:

Portanto, o conjunto-solução dessa inequação é:

S = {x ∈ IR | x > 1/2}

Exemplo 2:

Resolva a inequação log_1/2(6x - 1) > log_1/25

Verificando o valor da base a temos neste caso a = 1/2. Nosso a está entre 0 e 1 (0 < a < 1). Portanto, o sentido da desigualdade da inequação será alterado (menor <).

Temos também que o logaritmando 6x -1 tem que ser maior que zero.

Logo:

I) 6x -1 > 0 => 6x > 1 => x > 1/6.

Por fim, resolvemos a inequação log_1/2(6x - 1) > log_1/25

Vai ficar:

II) log_1/2(6x - 1) > log_1/25 => 6x - 1

<

5 => 6x < 6 => x < 6/6 => x < 1.

Observe que mudamos o sentido da desigualdade para menor (<).

Fazendo a intersecção de I e II:

Portanto, o conjunto-solução dessa inequação é:

S = {x ∈ IR | 1/6 < x < 1}