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Soma dos N Termos de Uma P.A.


Capítulo 8

Seção 8.4

A soma dos n termos de uma P.A. é dada pela seguinte fórmula:
nesta figura temos a fórmula da soma dos n termos de uma progressão aritmética.

Onde:

Sn é a soma dos n termos.
a1 é o primeiro termo.
an é o enésimo termo.
n é o número de termos.

Demonstração:

Sendo uma P.A. finita com n termos e Sn a soma dos n termos desta P.A. temos:

Sn = a1 + a2 + a1+ ...+ an - 2 + an - 1 + an +
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2+ an - 1)...+ (an - 1 + a2) + (an + a1)

A soma (a2+ an - 1) é igual a soma dos extremos (a1 + an). Isso ocorre, porque a2 e an - 1 são
equidistantes aos extremos, ou seja, tem igual a mesma distancia dos extremos a1 e an, respectivamente.

Portanto, todas as somas dos termos internos da nossa P.A. serão iguais a (a1 + an).

Sabendo disso, substituímos todos os termos da nossa soma com (a1 + an):

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) +... + (a1 + an)=
2Sn = (a1 + an).n =
Sn = ((a1 + an).n)/2 =

Logo,
nesta figura temos a fórmula da soma dos n termos de uma progressão aritmética.


Exemplo:

a) A soma dos 40 primeiros da P.A, (1, 4, 7,...) vale:

Resolução:

Para resolvermos essa questão, fazemos uso das fórmulas do termo geral da P.A. e da soma dos n termos.

an = a1 + (n - 1).r

Dados:

a40 = ?
n = 40
r = 4 - 1 = 3
a1 = 1

Substituindo na fórmula do termo geral:

a40 = 1 + (40 - 1).3
a40 = 1 + 39.3
a40 = 1 + 117
a40 = 118

Agora que temos o a40, podemos usar a fórmula da soma dos n termos.

Sn = ((a1 + an).n)/2
S40 = ((a1 + a40).40)/2
S40 = ((1 + 118).40)/2
S40 = (119.40)/2
S40 = 4760/2
S40 = 2380

Portanto, a soma do 40 primeiros da P.A. vale S40 = 2380





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