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Soma dos N Termos de Uma P.G. Finita


Capítulo 9

Seção 9.4

A soma dos "n" termos de uma P.G. finita é dada pela seguinte fórmula:
nessa figura temos a fórmula da soma dos n termos de uma pg onde a1 multiplica q elevado na n menos 1 e tudo é dividido
          por q menos 1 onde q é diferente de 1.

Onde:

Sn é a soma dos n termos.
a1 é o primeiro termo.
q é a razão
n é o número de termos.


Demonstração:

Sendo uma P.G. finita com n termos e Sn a soma dos n termos desta P.G. temos:

Sn = a1 + a1q + a1q2+ ...+ a1qn - 1    termo I

Vamos pegar agora o termo I e mulplicar por "q". Vai ficar:

qSn = a1q + a1q2 + a1q3+ ...+ a1qn - 1 + a1 qn    termo II

Por fim, subtraímos o termo II pelo termo I:

Sn = a1 + a1q + a1q2+ ...+ a1qn - 1
qSn = a1q + a1q2 + a1q3+ ...+ a1qn - 1 + a1 qn
qSn - Sn = -a1 + a1qn =>
Sn(q - 1) = a1(qn - 1)

Logo,
nessa figura temos a fórmula da soma dos n termos de uma pg onde a1 multiplica q elevado na n menos 1 e tudo é dividido
          por q menos 1 onde q é diferente de 1.

CASO PARTICULAR:

Quando q = 1, teremos a seguinte fórmula da soma dos n termos de uma P.G. finita:
nesta figura temos que a soma dos n termos é igual a n vezes a1.


Exemplo:

a) A soma dos 6 primeiros da P.G., (2, 12, 72,...) vale:

Resolução:

Para resolvermos essa questão, fazemos uso da fórmula da soma dos n termos de uma P.G. finita.

Dados:

Sn = ?
n = 6
q = 12/2 = 6
a1 = 2

Substituindo na fórmula da soma dos n termos, teremos:

S6 = 2(66 - 1)/(6 - 1)
S6 = 2(46656 - 1)/5
S6 = 2(46655)/5
S6 = 2(9331)
S6 = 18662

Portanto, a soma do 6 primeiros da P.G. vale S6 = 18662


Exemplo 2:

b) Dada a P.G. (3, 12, 48,...), a soma de n termos da P.G. finita resultou 16383. Quantos termos tem esta P.G. ?

Dados:
Sn = 16383
n = ?
q = 12/3 = 4
a1 = 3

Substituindo na fórmula da soma dos n termos, teremos:

16383 = 3(4n - 1)/(4 - 1)
16383 = 3(4n - 1)/3
16383 + 1 = 4n
16384 = 4n
47 = 4n
7 = n
n = 7

Portanto, o número de termos para que a soma desta P.G. seja 16383 é n = 7.






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