Equações Polinomiais Com Raízes Complexas

Capítulo 16

Seção 16.11

Definição:

Se temos uma raiz complexa (a + bi) para um polinômio P(x) = 0 para coeficientes reais, seu conjugado (a - bi) também será raiz da equação.

- Se a raiz (a + bi) tiver multiplicidade k, seu conjugado (a - bi) também terá multiplicade k.
- Não haverá raiz complexa aos pares. Logo, quando P(x) tiver grau ímpar, uma das raízes será real.

Exercício:

1) Dada a equação polinomial P(x) = x⁴ - 7x³ + 34x² - 68x +4 0 = 0, determine suas raízes, sabendo que uma delas vale 2 - 4i.

Resolução:

Se 2 - 4i é raiz da equação, seu conjugado 2 + 4i também será raiz.

Aplicando Briot-Ruffini:



Teremos no quociente a equação Q(x) = x² - 3x + 2.

Aplicando Báskara, teremos as seguintes raízes:

x' = 1
x'' = 2

Portanto, as raízes de P(x) são:

S = {1, 2, 2 + 4i, 2 - 4i}