Relações de Girardi

Capítulo 16

Seção 16.12

Definição:

A Relação de Girardi relaciona os coeficientes de uma equação com as suas raízes.

- Para uma equação do segundo grau ax² + bx + c, teremos a seguinte relação:

x' + x'' = -b/a (soma das duas raízes)
x'.x'' = c/a (produto das duas raízes)

- Para uma equação do terceiro grau ax³ + bx² + cx + d:

x' + x'' + x''' = -b/a (soma das três raízes)
x'.x'' + x'.x''' + x''.x''' = c/a (soma dos produtos tomados dois a dois)
x'.x''.x''' = -d/a (produto das três raízes)

- Para uma equação do quarto grau ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e:

x' + x'' + x''' + x''''= -b/a (soma das quatro raízes)
x'.x'' + x'.x''' + x'.x'''' + x''.x''' + x''.x'''' + x'''.x'''' = c/a (soma dos produtos tomados dois a dois)
x'.x''.x''' + x'.x''.x'''' + x'.x'''.x'''' + x''.x'''.x'''' = -d/a (soma dos produtos tomados três a três)
x'.x''.x'''.x'''' = e/a (produto das quatro raízes)

Exercícios:

1) Sendo a equação polinomial P(x) = 4x³ - 64x² + 5x + 3, qual o valor da soma das raízes ?

Resolução:

A soma das raízes de uma equação do terceiro grau é dado por:

x' + x'' + x''' = -b/a

Dados:

a = 4
b = -64

Então,

x' + x'' + x''' = -b/a
x' + x'' + x''' = 64/4
x' + x'' + x''' = 16

Portanto, a soma das raízes será igual a 16.

2) (ITA-SP) Se a, b e c são raízes da equação x³ - 2x² + 3x - 4 = 0, calcule o valor de (1/a) + (1/b) + (1/c).

Resolução:

Temos que:

ab + ac + bc = a₁/a₃

Mas a₁ = 3 e a₃ = 1

Então,

ab + ac + bc = a₁/a₃
ab + ac + bc = 3/1
ab + ac + bc = 3

Temos também que:

a.b.c = -a₀/a₃

Mas a₀ = -4 e a₄ = 1

Portanto,

a.b.c = -a₀/a₃
a.b.c = 4/1
a.b.c = 4

Calculando (1/a) + (1/b) + (1/c), teremos:

(1/a) + (1/b) + (1/c) = (bc + ac + ab)/(abc)

Mas,

ab + ac + bc = 3
abc = 4

Portanto,

(1/a) + (1/b) + (1/c) = 3/4