Teorema do Fator

Capítulo 16

Seção 16.7

Vamos dividir um polinômio P(x) pelos fatores (x - α ) e (x - β ), onde r₁ é resto da divisão de P(x) por (x - α ) e r₂ é o resto da divisão de P(x) por (x - β ).





Como o produto dos fatores (x - α ) e (x - β ) vai resultar num polinômio de segundo grau, o resto R(x) será um polinômio de primeiro grau do tipo R(x) = ax + b.

Se o produto for um polinômio de terceiro grau, teremos um resto de segundo grau (R(x) = ax² + bx + c) e assim por diante.

- Quando P(x) for divisível pelo produto (x - α ).(x - β ), teremos:

r₁ = 0
r₂ = 0
R(x) = 0

Exercício:

(FUMEC-MG) Determine m e n de modo que P(x) = 2x⁴ - x³ + mx² - nx + 2 seja divisível por (x - 2)(x + 1).

Resolução:

Como P(x) é divisível pelos produto dos fatores, as raízes de deste polinômio serão:

α = 2
β = -1

Subsituindo no polinômio P(x):

para α = 2:

P(x) = 2x⁴ - x³ + mx² - nx + 2
0 = 2(2)⁴ - 2³ + m2² - n2 + 2
0 = 32 - 8 + 4m - 2n + 2
4m - 2n = -26

para β = -1:

P(x) = 2x⁴ - x³ + mx² - nx + 2
0 = 2(-1)⁴ - (-1)³ + m(-1)² - n(-1) + 2
0 = 2 + 1 + m + n + 2
m + n = -5

Teremos então o seguinte sistema:

4m - 2n = -26
m + n = -5

Multiplicando a segunda equação por 2:

4m - 2n = -26
2m + 2n = -10

Somando as duas equações:

6m = -36
m = -36/6
m = -6

Substituindo m = -6 na primeira equação:

4.(-6) - 2n = -26
-24 - 2n = -26
-2n = -26 + 24
-2n = -2
2n = 2
n = 2/2
n = 1

Portanto, m = -6 e n = 1.