Decomposição de polinômios em fatores

Capítulo 16

Seção 16.9

A decomposição de um polinômio de segundo grau ficará da seguinte forma:

ax² + bx + c = a(x - x')(x - x''), onde x' e x'' são raízes do polinômio.

Exemplo:

1) Decomponha em fatores o polinômio P(x) = x² - 5x + 6.

Resolução:

Aplicando Báskara para P(x), encontramos as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 3

Como a = 1, temos:

P(x) = a(x - x')(x - x'')
P(x) = (x - 2)(x - 3)

Portanto, P(x) = (x - 2)(x - 3)

Decomposição de polinômios de 3o. grau

A decomposição de um polinômio de terceiro grau ficará da seguinte forma:

ax³ + bx² + cx + d = a(x - x')(x - x'')(x - x'''), onde x', x'' e x''' são raízes do polinômio.

Exemplo:

2) Decomponha o polinômio P(x) = x³ - 8x² + 15x em fatores:

Resolução:

Em primeiro lugar, vamos colocar o x em evidência:

x³ - 8x² + 15x = 0
x(x² - 8x + 15) = 0

Quando colocamos o x em evidência, descobrimos que uma das raízes é zero. Logo, x' = 0.

Aplicando Báskara para x² - 8x + 15, encontramos as seguintes raízes:

x'' = 3
x''' = 5

Portanto, nosso P(x) ficará da seguinte forma decomposto em fatores, para a = 1:

P(x) = a(x - x')(x - x'')(x - x''')
P(x) = 1(x - 0)(x - 3)(x - 5)
P(x) = x(x - 3)(x - 5)

Então, P(x) = x(x - 3)(x - 5)

Decomposição de polinômios de grau maior que 3.

A decomposição de um polinômio de grau maior que 3 ficará da seguinte forma:

axⁿ + a_n-1x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} +...a₁x + a₀ = a_n(x - x')(x - x'')...(x - xⁿ).
Esta é a fórmula geral que serve para a decomposição de qualquer polinômio de grau n.

Exercício:

3) Decomponha em fatores o polinômio P(x) = x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24 sabendo que duas de suas raízes são 1 e 2.

Resolução:

Vamos aplicar Briot-Ruffini para este polinômio:



Nosso polinômio decomposto ficará assim:

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x² - 7x + 12)

Aplicando Báskara para x² - 7x + 12, encontramos as seguintes raízes:

x''' = 3
x'''' = 4

Portanto, nosso P(x) vai ficar:

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)