Sistema Linear Possível e Indeterminado

Capítulo 12

Seção 12.5

Definição:

Um sistema linear é dito possível e indeterminado quando o det A é igual a zero e det A₁, A₂, A₃...,A_n = 0. Neste caso, ele admite infinitas soluções.

Vejamos um exemplo:

1) Resolva o sistema abaixo e verifique se ele é possível e indeterminado.

na figura temos um sistema com duas equações lineares. A primeira é 3x + 2y igual a 1. A segunda é formada por
9x + 6y igual a 3.

Vamos calcular o det A:

na figura temos uma matriz A com os elementos 3 e 2 na primeira linha e os elementos 9 e 6 na segunda linha.
O determinante de A é igual a 0.

Como o det A é zero, precisamos calcular o valor de do det A₁ e do det A₂ e verificar se estes também serão zero,
para concluir que o sistema é possível e indeterminado.

Para achar o valor do det A₁, basta substituir a primeira coluna da matriz A pela coluna dos termos independentes do sistema.
Vai ficar:

na figura temos uma matriz A1 com os elementos 1 e 2 na primeira linha e os elementos 3 e 6 na segunda linha.
O determinante de A1 é igual a 0.

E para achar o valor do det A₂, basta substituir a segunda coluna da matriz A pela coluna dos termos independentes do sistema.
Vai ficar:

na figura temos uma matriz A2 com os elementos 3 e 1 na primeira linha e os elementos 9 e 3 na segunda linha.
O determinante de A2 é igual a 0.

Portanto, o conjunto-solução do nosso sistema será:

x = det A₁/det A
x = 0/0

y = det A₂/det A
y = 0/0

Este sistema terá infinitas soluções. Logo, o sistema é possível e indeterminado.

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