Soma e Diferença de Arcos Trigonométricos

Capítulo 17 - Seção 17.17

Sejam dois arcos de medida a e b numa circunferência trigonométrica. Temos então a seguinte relação:

- seno da soma: sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
- seno da diferença: sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
- cosseno da soma: cos (a + b) = cos a.cos b - sen a.sen b
- cosseno da diferença: cos(a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b

Exemplo:

1) Calcule sen 75^o:

Solução:

sen 75^o = sen (45^o + 30^o)
sen (45^o + 30^o) = sen 45^o.cos 30^o + sen 30^o.cos 45^o
sen (45^o + 30^o) = [(√2/2).(√3/2) + (1/2).(√2/2)]
sen (45^o + 30^o) = [(√6/4) + (√2/4)]
sen (45^o + 30^o) = [(√6 + (√2]/4

Exercícios:

1) Calcule y = sen 105^o - cos 75^o

Solução:

sen 105^o = sen (60^o + 45^o)
sen (60^o + 45^o) = sen 60^o.cos 45^o + sen 45^o.cos 60^o
sen (60^o + 45^o) = [(√3/2).(√2/2) + (√2/2).(1/2)]
sen (60^o + 45^o) = [(√6/4) + (√2/4)]

cos 75^o = cos (30^o + 45^o)
cos (30^o + 45^o) = cos 30^o.cos 45^o - sen 30^o.sen 45^o
cos (30^o + 45^o) = [(√3/2).(√2/2) - (1/2).(√2/2)]
cos (30^o + 45^o) = [(√6/4) - (√2/4)]

sen 105^o - cos 75^o =
[(√6/4) + (√2/4)] - [(√6/4) - (√2/4)] =
[(√6/4) + (√2/4)] - (√6/4) + (√2/4) =
2(√2/4) =
(√2/2)

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sen 105^o - cos 75^o = (√2/2)

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