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Números Binomiais Complementares


Capítulo 14

Seção 14.3


Definição:

O Triângulo de Pascal é a disposição ordenada dos números binomiais.

Veja a figura abaixo:

na figura temos a coluna 1, a coluna, a coluna 3, a coluna 4, três pontos que indicam uma grande quantidade de colunas e por fim a coluna n. Na segunda linha temos a Linha 0 e um par de colchetes com o elemento 0 na primeira linha e 0 na segunda linha. Na terceira linha temos a Linha 1 e um par de colchetes com o elemento 1 na primeira linha e 0 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 1 na primeira linha e o elemento 1 na segunda linha. Na quarta linha temos a Linha 2 e um par de colchetes com o elemento 2 na primeira linha e 0 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 2 na primeira linha e o elemento 1 na segunda linha. E ao lado desse um outro par de colchetes com o elemento 2 na primeira linha e o elemento 2 na segunda linha. Na quinta linha temos a Linha 3 e um par de colchetes com o elemento 3 na primeira linha e 0 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 3 na primeira linha e o elemento 1 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 3 na primeira linha e o elemento 2 na segunda linha. E ao lado desse um outro par de colchetes com o elemento 3 na primeira linha e o elemento 3 na segunda linha. Na sexta linha temos a Linha 4 e um par de colchetes com o elemento 4 na primeira linha e 0 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 4 na primeira linha e o elemento 1 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 4 na primeira linha e o elemento 2 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento 4 na primeira linha e o elemento 3 na segunda linha. E ao lado desse um outro par de colchetes com o elemento 4 na primeira linha e o elemento na 4 segunda linha.
na figura temos três pontos que saem de cada uma das colunas indicando que existe um quantidade muito grande de colchetes. Na linha temos um par de colchetes com o elemento n na primeira linha e 0 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento n na primeira linha e o elemento 1 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento n na primeira linha e o elemento 2 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento n na primeira linha e o elemento 3 na segunda linha. Ao lado um outro par de colchetes com o elemento n na primeira linha e o elemento 4 na segunda linha. Temos então os 3 pontos que mostram que há uma grande quantidade de colchetes chegando até um par de colchetes com elemento n na primeira linha e n na segunda linha.

Veja na figura que os os numeros binomiais de mesmo numerador estão colocados na mesma linha. E os números binomiais de mesmo denominador são colocados na mesma coluna.

Calculando cada um dos números binomiais do Triângulo de Pascal, teremos:

na figura temos os elementos 1 na primeira linha, os elementos 1 e 1 na segunda linha, os elementos 1, 2 e 1 na terceira linha e os elementos 1, 3, 3 e 1 na quarta linha. Depois os elementos 1, 4, 6, 4 e 1 na quinta linha, os elementos 1, 5, 10, 10, 5 e 1 na sexta linha e os elementos 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1 na sétima linha. Em seguida, nas linhas seguintes, aparecem pontos que indicam que esses infinitos elementos.


Propriedades:

1) Os elementos da primeira coluna do triângulo são todos iguais a 1, porque:

na figura temos um par de colchetes com o elemento n na primeira linha e o elemento 0 na segunda linha. Tudo isso igual a 1.


2) Na linha do triângulo, o último elementos será sempre 1, porque:

na figura temos um par de colchetes com o elemento n na primeira linha e o elemento n na segunda linha. Tudo isso igual a 1.

3) Em qualquer linha, os números binomiais que tem a mesma distância, são iguais. Veja a figura:

na figura temos a quinta linha do triângulo de pascal com os elementos 1, 4, 6, 4 e 1 com setas ligando o 1 inicial com o 1 final e o primeiro 4 com o segundo 4.

4) Relação de Stiffel

A relação de Stiffel é dado por:



A soma de dois binomiais da linha (n - 1) e coluna (p - 1) resulta no valor do binomial da linha n e coluna p.

Exemplo:





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