Arco Duplo
Capítulo 17 - Seção 17.19
- Seja o arco duplo sen 2x = sen(x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x = 2.sen x . cos x
- Seja o arco duplo cos 2x = cos(x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x = cos2x - sen2x
Vamos usar a relação fundamental da trigonometria para expressar cos 2x em função de cos x e sen x:
Em função de cos x:
cos 2x = cos2x - sen2x =
Mas,
sen2x + cos2x = 1
sen2x = 1 - cos2x
Então,
cos 2x = cos2x - sen2x =
cos 2x = cos2x - (1 - cos2x) =
cos 2x = cos2x - 1 + cos2x) =
cos 2x = 2cos2x - 1
Em função de sen x:
cos 2x = cos2x - sen2x =
Mas,
sen2x + cos2x = 1
cos2x = 1 - sen2x
Então,
cos 2x = cos2x - sen2x =
cos 2x = 1 - sen2x - sen2x) =
cos 2x = 1 - 2sen2x =
Arco Tg(2x)
Para o arco tg 2x:
tg 2x = tg(x + x) =
Exemplo:
1) Seja cos x = 1/2, calcule cos 2x.
Solução:
Como desconhecemos o valor de sen x, vamos utilizar o valor do arco de cos 2x em função de cosseno:
cos 2x = 2cos2x - 1
cos 2x = 2.[(1/2)2] - 1
cos 2x = 2.[(1/4)] - 1
cos 2x = (1/2) - 1
cos 2x = -1/2
Exercício:
(UFU-MG) Determine o período de f(x) = 6.sen x.cos x:
Resolução:
Temos que:
sen (2x) = 2.sen x.cos x
Multiplicando ambos os membros da igualdade por 3:
3.sen (2x) = 3.2.sen x.cos x
3.sen (2x) = 6.sen x.cos x
Então, vamos encontrar o período da função 3.sen (2x):
O período de uma função é dado por:
onde r = 2 á que o arco é duplo (sen 2x):
Então, o período da função é π.
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