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Arranjo Simples


Capítulo 13

Seção 13.2


Definição:

Um arranjo simples são n elementos tomados p a p, sem repetição, onde é possível formar p (n ≥ p) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos de um conjunto.

Podemos representar o arranjo simples através da equação:
na figura temos o símbolo do arranjo, a letra A com os índices n e p logo abaixo igual a n fatorial dividido por (n menos p) fatorial.

Vamos fazer um exemplo de arranjo simples sem o uso da equação:

1) Quantos números de 2 algarismos distintos poderemos formar usando os algarismos 1,3,6,7 ?

Resolução:

na figura temos 3 colunas e 4 linhas. Na primeira coluna temos o número 1, na segunda coluna os números 3,6 e 7 e na terceira coluna temos os númeoros 13, 16 e 17. Na segunda linha, temos o número 3 na primeira coluna, depois os números 1, 6 e 7 na segunda coluna e os números 31, 36 e 37 na terceira coluna. Na terceira linha temos o número 6 na primeira coluna, os números 1, 3 e 7 na segunda coluna e os números 61,63 e 67 na terceira coluna. E por fim, o número 7 na primeira linha, os números 1, 3 e 6 na segunda coluna e os números 71, 73 e 76 na terceira coluna.

Os números formados são: 13, 16, 17, 31, 36, 37, 61, 63, 67, 71, 73, 76. Ao todo são 12 números com algarismos distintos.

- Os elementos formados são distintos (13 é diferente de 31)
- Os elementos têm diferentes algarismos (15 e 73).
- Os grupos formados são arranjos simples de 4 algarismos tomados 2 a 2. Eles são representados por A4,2


Usando a equação do arranjo simples:

na figura temos o símbolo do arranjo, a letra A com os índices n e p logo abaixo igual a n fatorial dividido por (n menos p) fatorial. Temos também n = 4 e p = 2. Em seguida A com índice 4 e 2 igual a 4 fatorial dividido por (4 menos 2) fatorial igual a 4 fatorial dividido por 2 fatorial. Isso é igual a 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1 dividido por dois vezes um que é igual a 24 dividido por 2 que é igual a 12.

Usando a fórmula encontramos o mesmo resultado: é possível obter 12 números com algarismos distintos.


2) Calcule A7,3

Resolução:

na figura temos o símbolo do arranjo, a letra A com os índices n e p logo abaixo igual a n fatorial dividido por (n menos p) fatorial. Temos também n = 7 e p = 3. Em seguida A com índice 4 e 2 igual a 7 fatorial dividido por (7 menos 3) fatorial igual a 7 fatorial dividido por 4 fatorial. Isso é igual a 7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 dividido por quatro fatorial que é igual a 7 vezes 6 vezes 5 que é igual a 210.

Então, A7,3 = 210.


3) Quantos números ímpares de 3 algarismo podemos obter com os algarismos 0,1,3,5,6,7,8 no qual todos sejam distintos ?


Para ser ímpar os números devem terminar em 1,3,5 ou 7:

na figura temos 4 linhas. Cada uma delas é composta de 4 pequenos quadrados, onde os três primeiros estão vazios. Na primeira linha, o último quadrado tem o número 1. Ao lado temos um arranjo com n = 6 e p = 3. Na segunda linha temos o último quadrado com o número 3 Ao lado temos um arranjo com n = 6 e p = 3. Na terceira linha, temos o número 5 no último quadrado. Ao lado temos um arranjo com n = 6 e p = 3. E por fim na quarta linha, temos o número 7 no último quadrado e ao lado temos um arranjo com n = 6 e p = 3. Todo esse esquema é igual a 4 vezes um arranjo onde n = 6 e p = 3.


Observações:

Quando inserimos um número ímpar na última casa, ficamos com apenas 3 possibilidades de preenchimento. Como não podemos repetir algarismos, ficaremos com 6 algarismos possíveis para inserir nas 3 casas, ou seja, teremos um arranjos simples de 6 algarismos, tomados 3 a 3.

Agora devemos descontar aqueles números que começam por zero, pois estes também podem ser lidos como números com 3 algarismos apenas.


Exemplo:

0513 = 513
0513 -> 4 algarismos.
513 -> 3 algarismos.

Então,

na figura temos 4 linhas. Cada uma delas é composta de 4 pequenos quadrados, onde o segundo e o terceiro estão vazios. O primeiro quadrado de todas as linhas é preenchido com o número zero. Na primeira linha, o último quadrado tem o número 1. Ao lado temos um arranjo com n = 5 e p = 2. Na segunda linha temos o último quadrado com o número 3. Ao lado temos um arranjo com n = 6 e p = 3. Na terceira linha, temos o número 5 no último quadrado. Ao lado temos um arranjo com n = 5 e p = 2. E por fim na quarta linha, temos o número 7 no último quadrado e ao lado temos um arranjo com n = 5 e p = 2. Todo esse esquema é igual a 4 vezes um arranjo onde n = 5 e p = 2
Aqui teremos apenas 2 casas e podemos formar arranjos com somente 5 números (0 e o número ímpar já não contam). Logo, será um arranjo simples de 5 algarismos tomados 2 a 2.

Logo, o total de números ímpares de 4 algarismos será:

4.A6,3 - 4.A5,2 =
4.6.5.4 - 4.5.4 =
480 - 80 = 400

Logo, será possível formar 400 númeors.



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