Soma e Produto Dos Termos de Uma P.A.

Capítulo 8

Seção 8.3

Numa P.A. que trabalhamos com soma ou produto de termos, fazemos uso do termo do meio, ou seja, o x para encontrarmos o termos desta progressão aritmética.

Casos de estudo:

a) Quando a P.A. tem 3 termos, vamos representá-la por (x - r, x, x + r).
b) Com 5 termos, teremos: (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).
c) Com 4 termos, teremos: (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r).

Exemplo:

a) Sabendo que em uma P.A. a soma de três termos é 36 e o produto é 276, calcule e escreva estes 3 termos da P.A.

Resolução:

Dados da questão:

a₁ = x - r
a₂ = x
a₃ = x + r

Vamos agora somar estes três termos. Sabemos que o resultado será 36.

(x - r) + x + (x + r) = 36
x + x + x - r + r = 36
3x = 36
x = 12

Agora faremos o produto, sabendo que o resultado será 276.

Multiplicando os extremos, ou seja, a₁ com a₃, teremos:

(x - r)(x + r) = x² + rx - rx - r²
(x - r)(x + r) = x² - r²

Por fim, multiplicaremos o termo acima pelo termo do meio, ou seja, a₂:

x(x² - r²)

E nós sabemos que este produto dará 276. Logo,
x(x² - r² = 276.

Sabemos que x = 12. Substituindo na expressão acima, teremos:

12(144 - r²) = 276
(144 - r²) = 276/12
(144 - r²) = 23
-r² = 23 - 144
-r² = -121
r² = 121
r = ± 11

Temos a razão e o x. Podemos agora montar a P.A. Fazendo as substituições:

Para r = 5
a₁ = x - r = 11 - 5 = 6
a₂ = x = 11
a₃ = x + r = 11 + 5 = 16

Para r = -5
a₁ = x - r = 11 + 5 = 16
a₂ = x = 11
a₃ = x + r = 11 - 5 = 6

Portanto, os números da nossa P.A. são 6, 11, 16