Raízes Racionais

Capítulo 16

Seção 16.13

Definição:

Seja p/q uma fração irredutível e p(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁ + a₀ = 0, a fração será raiz se o polinômio tiver coeficientes inteiros. Então, p será divisor de a₀ e q será divisor de a_n.

Exercício:

(FEI-SP) Resolva a equação cúbica x³ - 2x² - 3x + 6 = 0.

Resolução:

Todos os coeficientes do polinômio p(x) são inteiros.

Podemos então supor que p é divisor de 6.

O numerador p pode assumir os seguintes valores: {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} que são os divisores de 6.

O denominador q é divisor de 1 e pode ter os seguintes valores: {-1,1}.

Já a fração p/q tem os seguintes valores: {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

Substituindo os valores de p, q e p/q no polinômio, descobrimos que somente o 2 é raiz do polinômio.

Então, usaremos Briot-Rufini para descobrirmos o valor de Q(x) que nos dará o valor das outras duas raízes.



Portanto, Q(x) = x² - 3.

Fazendo Q(x) = 0, teremos:

x² - 3 = 0
x² = 3
x = ± √ 3

Logo, as raízes do polinômio p(x) são {- √ 3, √ 3, 2}