Inequações Produto e Quociente

Capítulo 3

Seção 3.5

Inequação Produto e Quociente

Inequação Produto

Para resolver as inequações produto, nós vamos analisar o comportamento dos sinais de cada fator na reta dos reais

Vamos ver um exemplo:

Resolva a inequação (x - 2)(x + 3) > 0

O que me importa nessa inequação são os valores maiores que zero, já que o produto destes dois fatores tem que ser maior que zero. Então, vamos pegar ambos os fatores e vamos igualá-los a zero para achar os zeros da função.

f(x) = x - 2 = 0 => x = 2
g(x) = x + 3 = 0 => x = -3

Com os valores acima, eu desenho as seguintes figuras abaixo:

E a partir delas, desenho os fatores na reta dos reais:

Observado a figura acima, concluo que tenho que fazer a multiplicação dos sinais nos intervalos determinados para achar o conjunto-verdade. São 3 intervalos. No primeiro, multiplico o sinal - com outro - e terei sinal de +.
No segundo, multiplicamos + com - e teremos como resultado o -.
E no terceiro, multiplicamos o + com + e teremos como resultado o +.

Como nós queremos os valores positivos no conjunto-verdade, o resultado desta inequação será:

S = { x ∈ IR | x < -3 ou x > 2 }

Inequação Quociente

Para resolver as inequações quociente, nós vamos analisar o comportamento dos sinais do numerador e denominador na reta dos reais

Vamos ver um exemplo:

Resolva a inequação (x - 3)/(x - 2) ≥ 0

Nessa inequação, o que nos importa são os valores maiores ou iguais a zero, já que o quociente destes termos tem que ser maior ou igual a zero. Vamos pegar ambos os termos e igualá-los a zero para achar os zeros da função.

f(x) = x - 3 = 0 => x = 3
g(x) = x - 2 = 0 => x = 2

Com os valores acima, eu desenho as seguintes figuras abaixo:

ATENÇÃO!

A inequação me diz que a divisão deve ser maior ou igual o zero. Porém, o denominador não pode ser igual a zero, pois este resultado não existe nos números reais. Por isso, para x = 3 eu tenho a bolinha cheia que representa o ≥ e para x = 2 eu tenho a bolinha vazia, pois o xx" não pode valer 2 para não zerar o denominador.

A partir das figuras acima, desenho os termos na reta dos reais:

Observado a figura acima, concluo que tenho que fazer a divisão dos sinais nos intervalos determinados para achar o conjunto-verdade.
São 3 intervalos. No primeiro, dividimos o sinal - com outro - e teremos sinal de +.
No segundo, dividimos + com - e teremos como resultado o -.
E no terceiro, dividimos o + com + e teremos como resultado o +.

Como nós queremos os valores positivos no conjunto-verdade, o resultado desta inequação será:

S = { x ∈ IR | x < 2 ou x ≥ 3 }